聚类问题

概述

聚类(cluster)与分类(class)问题不同,聚类是属于无监督学习模型,而分类属于有监督学习。聚类使用一些算法把样本分为N个群落,群落内部相似度较高,群落之间相似度较低。在机器学习中,通常采用“距离”来度量样本间的相似度,距离越小,相似度越高;距离越大,相似度越低.

相似度度量方式

① 欧氏距离

相似度使用欧氏距离来进行度量. 坐标轴上两点x1,x2x_1, x_2之间的欧式距离可以表示为:

x1x2=(x1x2)2|x_1-x_2| = \sqrt{(x_1-x_2)^2}

平面坐标中两点(x1,y1),(x2,y2)(x_1, y_1), (x_2, y_2)欧式距离可表示为:

(x1,y1)(x2,y2)=(x1x2)2+(y1y2)2|(x_1,y_1)-(x_2, y_2)| = \sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}

三维坐标系中(x1,y1,z1),(x2,y2,z2)(x_1, y_1, z_1), (x_2, y_2, z_2)欧式距离可表示为:

(x1,y1,z1),(x2,y2,z2)=(x1x2)2+(y1y2)2+(z1z2)2|(x_1, y_1, z_1),(x_2, y_2, z_2)| = \sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2+(z_1-z_2)^2}

以此类推,可以推广到N维空间.

(x1,y1,z1...,n1),(x2,y2,z2,...n2)=(x1x2)2+(y1y2)2+(z1z2)2+...(n1n2)2|(x_1, y_1, z_1...,n_1),(x_2, y_2, z_2,...n_2)| = \sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2+(z_1-z_2)^2+...(n_1-n_2)^2}

② 曼哈顿距离

二维平面两点a(x1,y1)a(x_1, y_1)b(x2,y2)b(x_2, y_2)两点间的曼哈顿距离为:

d(a,b)=x1x2+y1y2d(a, b) = |x_1 - x_2| + |y_1 - y_2|

推广到N维空间,x(x1,x2,...,xn)x(x_1, x_2, ..., x_n)y(y1,y2,...,yn)y(y_1, y_2, ..., y_n)之间的曼哈顿距离为:

d(x,y)=x1y1+x2y2+...+xnyn=i=1nxiyid(x,y) = |x_1 - y_1| + |x_2 - y_2| + ... + |x_n - y_n| = \sum_{i=1}^n|x_i - y_i|

manhaton_dist

在上图中,绿色线条表示的为欧式距离,红色线条表示的为曼哈顿距离,黄色线条和蓝色线条表示的为曼哈顿距离的等价长度。

③ 闵可夫斯基距离

闵可夫斯基距离(Minkowski distance)又称闵氏距离,其定义为:

D(x,y)=(i=1nxiyip)1pD(x, y) = (\sum_{i=1}^n |x_i - y_i|^p)^{\frac{1}{p}}

  • p=1p=1时,即为曼哈顿距离

  • p=2p=2时,即为欧式距离

  • pp \rightarrow \infty时,即为切比雪夫距离

可见,曼哈顿距离、欧氏距离、切比雪夫距离都是闵可夫斯基的特殊形式.

④ 距离的性质

如果dist(x,y)dist(x,y)度量标准为一个距离,它应该满足以下几个条件:

  • 非负性:距离一般不能为负,即 dist(x,y)>=0dist(x, y) >= 0
  • 同一性:dist(xi,yi)=0dist(x_i, y_i) = 0,当且仅当xi=yix_i = y_i
  • 对称性:dist(xi,yi)=dist(yi,xi)dist(x_i, y_i) = dist(y_i, x_i)
  • 直递性:dist(xi,xj)<=dist(xi,xk)+dist(xk,xj)dist(x_i, x_j) <= dist(x_i, x_k) + dist(x_k, x_j)

聚类算法的划分

① 原型聚类

原型聚类也称“基于原型的聚类”(prototype-based clustering),此类算法假设聚类结构能通过一组原型刻画,在现实聚类任务中极为常用. 通常情况下,算法先对原型进行初始化,然后对原型进行迭代更新求解. 采用不同的原型表示、不同的求解方式,将产生不同的算法. 最著名的原型聚类算法有K-Means.

② 密度聚类

密度聚类也称“基于密度的聚类”(density-based clustering),此类算法假定聚类结构能通过样本分布的紧密程度确定. 通常情况下,密度聚类算法从样本密度的角度来考察样本之间的可连接性,并基于可连接样本不断扩展聚类簇以获得最终的聚类结果. 著名的密度聚类算法有DBSCAN.

③ 层次聚类

层次聚类(hierarchical clustering)试图在不同层次对数据集进行划分,从而形成树形的聚类结构. 数据集的划分可以采用“自底向上”或“自顶向下”的策略. 常用的层次聚类有凝聚层次算法等.

常用聚类算法

K均值聚类

① 定义

K均值聚类(k-means clustering)算法是一种常用的、基于原型的聚类算法,简单、直观、高效。其步骤为:

第一步:根据事先已知的聚类数,随机选择若干样本作为聚类中心,计算每个样本与每个聚类中心的欧式距离,离哪个聚类中心近,就算哪个聚类中心的聚类,完成一次聚类划分.

第二步:计算每个聚类的几何中心,如果几何中心与聚类中心不重合,再以几何中心作为新的聚类中心,重新划分聚类. 重复以上过程,直到某一次聚类划分后,所得到的各个几何中心与其所依据的聚类中心重合或足够接近为止. 聚类过程如下图所示:

k-means

注意事项:

(1)聚类数(K)必须事先已知,来自业务逻辑的需求或性能指标.

(2)最终的聚类结果会因初始中心的选择不同而异,初始中心尽量选择离中心最远的样本.

② 实现

sklearn关于k-means算法API:

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
import sklearn.cluster as sc

# 创建模型
model = sc.KMeans(n_clusters) # n_cluster为聚类数量

# 获取聚类(几何)中心
centers = model.cluster_centers_

# 获取聚类标签(聚类结果)
pred_y = model.labels_

示例代码:

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
# k-means示例
import numpy as np
import sklearn.cluster as sc
import matplotlib.pyplot as mp
import sklearn.metrics as sm

x = [] # 没有输出(无监督学习)
with open("../data/multiple3.txt", "r") as f:
for line in f.readlines():
line = line.replace("\n", "")
data = [float(substr) for substr in line.split(",")]
x.append(data)

x = np.array(x)

# K均值聚类器
model = sc.KMeans(n_clusters=4) # n_cluster为聚类数量
model.fit(x) # 训练

pred_y = model.labels_ # 聚类标签(聚类结果)
centers = model.cluster_centers_ # 获取聚类(几何)中心

print("centers:", centers)
print("labels.shape:", pred_y.shape)
#print("labels:", pred_y)

# 计算并打印轮廓系数
score = sm.silhouette_score(x, pred_y,
sample_size=len(x),
metric="euclidean") # 欧式距离度量
print("silhouette_score:", score)

# 可视化
mp.figure("K-Means Cluster", facecolor="lightgray")
mp.title("K-Means Cluster")
mp.xlabel("x", fontsize=14)
mp.ylabel("y", fontsize=14)
mp.tick_params(labelsize=10)
mp.scatter(x[:, 0], x[:, 1], s=80, c=pred_y, cmap="brg")
mp.scatter(centers[:, 0], centers[:, 1], marker="+",
c="black", s=200, linewidths=1)
mp.show()

打印输出:

1
2
3
4
5
6
centers: [[7.07326531 5.61061224]
[1.831 1.9998 ]
[5.91196078 2.04980392]
[3.1428 5.2616 ]]
labels.shape: (200,)
silhouette_score: 0.5773232071896658

生成图像:

③ 特点及使用

  • 优点

(1)原理简单,实现方便,收敛速度快;

(2)聚类效果较优,模型的可解释性较强;

  • 缺点

(1)需要事先知道聚类数量;

(2)聚类初始中心的选择对聚类结果有影响;

(3)采用的是迭代的方法,只能得到局部最优解;

(4)对于噪音和异常点比较敏感.

  • 什么时候选择k-means

(1)事先知道聚类数量

(2)数据分布有明显的中心

噪声密度

① 定义

噪声密度(Density-Based Spatial Clustering of Applications with Noise, 简写DBSCAN)随机选择一个样本做圆心,以事先给定的半径做圆,凡被该圆圈中的样本都被划为与圆心样本同处一个聚类,再以这些被圈中的样本做圆心,以事先给定的半径继续做圆,不断加入新的样本,扩大聚类的规模,知道再无新的样本加入为止,即完成一个聚类的划分. 以同样的方法,在其余样本中继续划分新的聚类,直到样本空间被耗尽为止,即完成整个聚类划分过程. 示意图如下:

DBSCAN算法中,样本点被分为三类:

  • 边界点(Border point):可以划分到某个聚类,但无法发展出新的样本;
  • 噪声点(Noise):无法划分到某个聚类中的点;
  • 核心点(Core point):除了孤立样本和外周样本以外的样本都是核心点;

DBSCAN_3

上图中,A和B为核心点,C为边界点,D为噪声点. 此外,DBSCAN还有两个重要参数:

  • 邻域半径:设置邻域半径大小;
  • 最少样本数目:邻域内最小样本数量,某个样本邻域内的样本超过该数,才认为是核心点.

② 实现

sklearn提供了DBSCAN模型来实现噪声密度聚类,原型如下:

1
2
model = sc.DBSCAN(eps,   # 半径
min_samples) # 最小样本数

示例代码:

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
# 噪声密度聚类示例
import numpy as np
import sklearn.cluster as sc
import matplotlib.pyplot as mp
import sklearn.metrics as sm

# 读取样本
x = []
with open("../data/perf.txt", "r") as f:
for line in f.readlines():
line = line.replace("\n", "")
data = [float(substr) for substr in line.split(",")]
x.append(data)

x = np.array(x)

epsilon = 0.8 # 邻域半径
min_samples = 5 # 最小样本数

# 创建噪声密度聚类器
model = sc.DBSCAN(eps=epsilon, # 半径
min_samples=min_samples) # 最小样本数
model.fit(x)
score = sm.silhouette_score(x,
model.labels_,
sample_size=len(x),
metric='euclidean') # 计算轮廓系数
pred_y = model.labels_
print(pred_y) # 打印所有样本类别
# print(model.core_sample_indices_) # 打印所有核心样本索引

# 区分样本
core_mask = np.zeros(len(x), dtype=bool)
core_mask[model.core_sample_indices_] = True # 核心样本下标

offset_mask = (pred_y == -1) # 孤立样本
periphery_mask = ~(core_mask | offset_mask) # 核心样本、孤立样本之外的样本

# 可视化
mp.figure('DBSCAN Cluster', facecolor='lightgray')
mp.title('DBSCAN Cluster', fontsize=20)
mp.xlabel('x', fontsize=14)
mp.ylabel('y', fontsize=14)
mp.tick_params(labelsize=14)
mp.grid(linestyle=':')
labels = set(pred_y)
print(labels)
cs = mp.get_cmap('brg', len(labels))(range(len(labels)))
print("cs:", cs)

# 核心点
mp.scatter(x[core_mask][:, 0], # x坐标值数组
x[core_mask][:, 1], # y坐标值数组
c=cs[pred_y[core_mask]],
s=80, label='Core')
# 边界点
mp.scatter(x[periphery_mask][:, 0],
x[periphery_mask][:, 1],
edgecolor=cs[pred_y[periphery_mask]],
facecolor='none', s=80, label='Periphery')
# 噪声点
mp.scatter(x[offset_mask][:, 0],
x[offset_mask][:, 1],
marker='D', c=cs[pred_y[offset_mask]],
s=80, label='Offset')
mp.legend()
mp.show()

执行图像:

③ 特点及使用

  • 算法优点

(1)不用人为提前确定聚类类别数K;
(2)聚类速度快;
(3)能够有效处理噪声点(因为异常点不会被包含于任意一个簇,则认为是噪声);
(4)能够应对任意形状的空间聚类.

  • 算法缺点

(1)当数据量过大时,要求较大的内存支持I/O消耗很大;
(2)当空间聚类的密度不均匀、聚类间距差别很大时、聚类效果有偏差;
(3)邻域半径和最少样本数量两个参数对聚类结果影响较大.

  • 何时选择噪声密度

(1)数据稠密、没有明显中心;

(2)噪声数据较多;

(3)未知聚簇的数量.

凝聚层次聚类

① 定义

凝聚层次(Agglomerative)算法,首先将每个样本看做独立的聚类,如果聚类数大于预期,则合并两个距离最近的样本作为一个新的聚类,如此反复迭代,不断扩大聚类规模的同时,减少聚类的总数,直到聚类数减少到预期值为止. 这里的关键问题是如何计算聚类之间的距离.

依据对距离的不同定义,将Agglomerative Clustering的聚类方法分为三种:

  • ward:默认选项,挑选两个簇来合并,是的所有簇中的方差增加最小。这通常会得到大小差不多相等的簇。
  • average链接:将簇中所有点之间平均距离最小的两个簇合并。
  • complete链接:也称为最大链接,将簇中点之间最大距离最小的两个簇合并。

ward适用于大多数数据集。如果簇中的成员个数非常不同(比如其中一个比其他所有都大得多),那么average或complete可能效果更好。

② 实现

sklearn提供了AgglomerativeClustering聚类器来实现凝聚层次聚类,示例代码如下:

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
# 凝聚层次聚类示例
import numpy as np
import sklearn.cluster as sc
import matplotlib.pyplot as mp

x = []
with open("../data/multiple3.txt", "r") as f:
for line in f.readlines():
line = line.replace("\n", "")
data = [float(substr) for substr in line.split(",")]
x.append(data)

x = np.array(x)

# 凝聚聚类
model = sc.AgglomerativeClustering(n_clusters=4) # n_cluster为聚类数量
model.fit(x) # 训练
pred_y = model.labels_ # 聚类标签(聚类结果)

# 可视化
mp.figure("Agglomerative", facecolor="lightgray")
mp.title("Agglomerative")
mp.xlabel("x", fontsize=14)
mp.ylabel("y", fontsize=14)
mp.tick_params(labelsize=10)
mp.scatter(x[:, 0], x[:, 1], s=80, c=pred_y, cmap="brg")
mp.show()

执行结果:

③ 特点及使用

(1)需要事先给定期望划分的聚类数(k),来自业务或指标优化;

(2)没有聚类中心,无法进行聚类预测,因为不依赖于中心的划分,所以对于中心特征不明显的样本,划分效果更佳稳定.

(3)适合于中心不明显的聚类.

聚类的评价指标

理想的聚类可以用四个字概况:内密外疏,即同一聚类内部足够紧密,聚类之间足够疏远. 学科中使用“轮廓系数”来进行度量,见下图:

假设我们已经通过一定算法,将待分类数据进行了聚类,对于簇中的每个样本,分别计算它们的轮廓系数。对于其中的一个点 i 来说:
a(i) = average(i向量到所有它属于的簇中其它点的距离)
b(i) = min (i向量到各个非本身所在簇的所有点的平均距离)
那么 i 向量轮廓系数就为:

S(i)=b(i)a(i)max(b(i),a(i))S(i)=\frac{b(i)-a(i)}{max(b(i), a(i))}

由公式可以得出:

(1)当b(i)>>a(i)b(i)>>a(i)时,S(i)S(i)越接近于1,这种情况聚类效果最好;

(2)当b(i)<<a(i)b(i)<<a(i)时,S(i)S(i)越接近于-1,这种情况聚类效果最差;

(3)当b(i)=a(i)b(i)=a(i)时,S(i)S(i)的值为0,这种情况分类出现了重叠.

sklearn提供的计算轮廓系数API:

1
2
3
4
score = sm.silhouette_score(x, # 样本
pred_y, # 标签
sample_size=len(x), # 样本数量
metric="euclidean") # 欧式距离度量

总结

(1)聚类属于无监督学习;

(2)聚类是根据数据的特征,将相似度最高的样本划分到一个聚簇中;

(3)相似度的度量方式:曼哈顿距离、欧式距离、切比雪夫距离,都可以用闵式距离公式表示;

(4)聚类算法

  • 基于原型聚类:k-means算法
  • 基于密度聚类:DBSCAN算法
  • 基金层次聚类:凝聚算法

(5)评价指标:轮廓系数