逻辑回归

概述

什么是逻辑回归

逻辑回归(Logistic Regression) 虽然被称为回归,但其实际上是分类模型,常用于二分类。逻辑回归因其简单、可并行化、可解释强而受到广泛应用。二分类(也称为逻辑分类)是常见的分类方法,是将一批样本或数据划分到两个类别,例如一次考试,根据成绩可以分为及格、不及格两个类别,如下表所示:

姓名 成绩 分类
Jerry 86 1
Tom 98 1
Lily 58 0
…… …… ……

这就是逻辑分类,将连续值映射到两个类别中。

逻辑函数

逻辑回归是一种广义的线性回归,其原理是利用线性模型根据输入计算输出(线性模型输出值为连续),并在逻辑函数作用下,将连续值转换为两个离散值(0或1),其表达式如下:

y=h(w1x1+w2x2+w3x3+...+wnxn+b)y = h(w_1x_1 + w_2x_2 + w_3x_3 + ... + w_nx_n + b)

其中,括号中的部分为线性模型,计算结果在函数h()h()的作用下,做二值化转换,函数h()h()的定义为:

h=11+eth= \frac{1}{1+e^{-t}}

t=wTx+b\quad t=w^Tx+b

该函数称为Sigmoid函数(又称逻辑函数),能将(,+)(-\infty, +\infty)的值映射到(0,1)(0, 1)之间,其图像为:

可以设定一个阈值(例如0.5),当函数的值大于阈值时,分类结果为1;当函数值小于阈值时,分类结果为0. 也可以根据实际情况调整这个阈值.

分类问题的损失函数

对于回归问题,可以使用均方差作为损失函数,对于分类问题,如何度量预测值与真实值之间的差异?分类问题采用交叉熵作为损失函数,当只有两个类别时,交叉熵表达式为:

E(y,y^)=[y log(y^)+(1y)log(1y^)]E(y, \hat{y}) = -[y \ log(\hat{y}) + (1-y)log(1-\hat{y})]

其中,y为真实值,y^\hat{y}为预测值.

  • y=1y=1时,预测值y^\hat{y}越接近于1,log(y^)log(\hat{y})越接近于0,损失函数值越小,表示误差越小,预测的越准确;当预测时y^\hat{y}接近于0时,log(y^)log(\hat{y})接近于负无穷大,加上符号后误差越大,表示越不准确;
  • y=0y=0时,预测值y^\hat{y}越接近于0,log(1y^)log(1-\hat{y})越接近于0,损失函数值越小,表示误差越小,预测越准确;当预测值y^\hat{y}接近于1时,log(1y^)log(1-\hat{y})接近于负无穷大,加上符号后误差越大,表示越不准确.

逻辑回归实现

sklearn中,逻辑回归相关API如下:

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# 创建模型
# solver参数:逻辑函数中指数的函数关系(liblinear表示线性关系)
# C参数:正则强度,越大拟合效果越小,通过调整该参数防止过拟合
model = lm.LogisticRegression(solver='liblinear', C=1)

# 训练
model.fit(x, y)

# 预测
pred_y = model.predict(x)

以下是使用sklearn库提供的逻辑分类器(LogisticRegression)实现的代码:

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# 逻辑分类器示例
import numpy as np
import sklearn.linear_model as lm
import matplotlib.pyplot as mp

x = np.array([[3, 1], [2, 5], [1, 8], [6, 4],
[5, 2], [3, 5], [4, 7], [4, -1]])
y = np.array([0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0])

# 创建逻辑分类器对象
model = lm.LogisticRegression()
model.fit(x, y) # 训练

# 预测
test_x = np.array([[3, 9], [6, 1]])
test_y = model.predict(test_x) # 预测
print(test_y)

# 计算显示坐标的边界
left = x[:, 0].min() - 1
right = x[:, 0].max() + 1
buttom = x[:, 1].min() - 1
top = x[:, 1].max() + 1

# 产生网格化矩阵
grid_x, grid_y = np.meshgrid(np.arange(left, right, 0.01),
np.arange(buttom, top, 0.01))

print("grid_x.shape:", grid_x.shape)
print("grid_y.shape:", grid_y.shape)

# 将x,y坐标合并成两列
mesh_x = np.column_stack((grid_x.ravel(), grid_y.ravel()))
print("mesh_x.shape:", mesh_x.shape)

# 根据每个点的xy坐标进行预测,并还原成二维形状
mesh_z = model.predict(mesh_x)
mesh_z = mesh_z.reshape(grid_x.shape)

mp.figure('Logistic Regression', facecolor='lightgray')
mp.title('Logistic Regression', fontsize=20)
mp.xlabel('x', fontsize=14)
mp.ylabel('y', fontsize=14)
mp.tick_params(labelsize=10)
mp.pcolormesh(grid_x, grid_y, mesh_z, cmap='gray')
mp.scatter(x[:, 0], # 样本x坐标
x[:, 1], # 样本y坐标
c=y, cmap='brg', s=80)
mp.scatter(test_x[:, 0], test_x[:, 1], c="red", marker='s', s=80)
mp.show()

执行结果:

logi_regression_1

补充:L-BFGS算法

多分类实现

逻辑回归产生两个分类结果,可以通过多个二元分类器实现多元分类(一个多元分类问题转换为多个二元分类问题). 如有以下样本数据:

特征1 特征2 特征3 实际类别
x1x_1 x2x_2 x3x_3 A
x1x_1 x2x_2 x3x_3 B
x1x_1 x2x_2 x3x_3 C

进行以下多次分类,得到结果:

第一次:分为A类(值为1)和非A类(值为0)

第二次:分为B类(值为1)和非B类(值为0)

第三次:分为C类(值为1)和非C类(值为0)

……

以此类推.

利用逻辑分类器实现多元分类示例代码如下:

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# 多元分类器示例
import numpy as np
import sklearn.linear_model as lm
import matplotlib.pyplot as mp

# 输入
x = np.array([[4, 7],
[3.5, 8],
[3.1, 6.2],
[0.5, 1],
[1, 2],
[1.2, 1.9],
[6, 2],
[5.7, 1.5],
[5.4, 2.2]])
# 输出(多个类别)
y = np.array([0, 0, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 2])

# 创建逻辑分类器对象
model = lm.LogisticRegression(C=200) # 调整该值为1看效果
model.fit(x, y) # 训练

# 坐标轴范围
left = x[:, 0].min() - 1
right = x[:, 0].max() + 1
h = 0.005

buttom = x[:, 1].min() - 1
top = x[:, 1].max() + 1
v = 0.005

grid_x, grid_y = np.meshgrid(np.arange(left, right, h),
np.arange(buttom, top, v))

mesh_x = np.column_stack((grid_x.ravel(), grid_y.ravel()))
mesh_z = model.predict(mesh_x)
mesh_z = mesh_z.reshape(grid_x.shape)

# 可视化
mp.figure('Logistic Classification', facecolor='lightgray')
mp.title('Logistic Classification', fontsize=20)
mp.xlabel('x', fontsize=14)
mp.ylabel('y', fontsize=14)
mp.tick_params(labelsize=10)
mp.pcolormesh(grid_x, grid_y, mesh_z, cmap='gray')
mp.scatter(x[:, 0], x[:, 1], c=y, cmap='brg', s=80)
mp.show()

执行结果:

logi_regression_2

总结

1)逻辑回归是分类问题,用于实现二分类问题

2)实现方式:利用线性模型计算,在逻辑函数作用下产生分类

3)多分类实现:可以将多分类问题转化为二分类问题实现

4)用途:广泛用于各种分类问题