基本概念

什么是支持向量机

支持向量机(Support Vector Machines)是一种二分类模型,在机器学习、计算机视觉、数据挖掘中广泛应用,主要用于解决数据分类问题,它的目的是寻找一个超平面来对样本进行分割,分割的原则是间隔最大化(即数据集的边缘点到分界线的距离d最大,如下图),最终转化为一个凸二次规划问题来求解。通常SVM用于二元分类问题,对于多元分类可将其分解为多个二元分类问题,再进行分类。所谓“支持向量”,就是下图中虚线穿过的边缘点。支持向量机就对应着能将数据正确划分并且间隔最大的直线(下图中红色直线)。

最优分类边界

什么才是最优分类边界?什么条件下的分类边界为最优边界呢?

如图中的A,B两个样本点,B点被预测为正类的确信度要大于A点,所以SVM的目标是寻找一个超平面,使得离超平面较近的异类点之间能有更大的间隔,即不必考虑所有样本点,只需让求得的超平面使得离它近的点间隔最大。超平面可以用如下线性方程来描述:

wTx+b=0w^T x + b = 0

其中,x=(x1;x2;...;xn)x=(x_1;x_2;...;x_n)w=(w1;w2;...;wn)w=(w_1;w_2;...;w_n)bb为偏置项. 可以从数学上证明,支持向量到超平面距离为:

γ=1w\gamma = \frac{1}{||w||}

为了使距离最大,只需最小化w||w||即可.

SVM最优边界要求

SVM寻找最优边界时,需满足以下几个要求:

(1)正确性:对大部分样本都可以正确划分类别;

(2)安全性:支持向量,即离分类边界最近的样本之间的距离最远;

(3)公平性:支持向量与分类边界的距离相等;

(4)简单性:采用线性方程(直线、平面)表示分类边界,也称分割超平面。如果在原始维度中无法做线性划分,那么就通过升维变换,在更高维度空间寻求线性分割超平面. 从低纬度空间到高纬度空间的变换通过核函数进行。

线性可分与线性不可分

① 线性可分

如果一组样本能使用一个线性函数将样本正确分类,称这些数据样本是线性可分的。那么什么是线性函数呢?在二维空间中就是一条直线,在三维空间中就是一个平面,以此类推,如果不考虑空间维数,这样的线性函数统称为超平面。

② 线性不可分

如果一组样本,无法找到一个线性函数将样本正确分类,则称这些样本线性不可分。以下是一个一维线性不可分的示例:

一维线性不可分
以下是一个二维不可分的示例:

二维线性不可分
对于该类线性不可分问题,可以通过升维,将低纬度特征空间映射为高纬度特征空间,实现线性可分,如下图所示:

一维空间升至二维空间实现线性可分
![](https://image.discover304.top/ai/svm_6.png)
二维空间升至三维空间实现线性可分
那么如何实现升维?这就需要用到核函数。

核函数

通过名为核函数的特征变换,增加新的特征,使得低维度线性不可分问题变为高维度线性可分问题。如果低维空间存在K(x,y),x,y∈Χ,使得K(x,y)=ϕ(x)·ϕ(y),则称K(x,y)为核函数,其中ϕ(x)·ϕ(y)为x,y映射到特征空间上的内积,ϕ(x)为X→H的映射函数。以下是几种常用的核函数。

线性核函数

线性核函数(Linear)表示不通过核函数进行升维,仅在原始空间寻求线性分类边界,主要用于线性可分问题。

示例代码:

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# 支持向量机示例
import numpy as np
import sklearn.model_selection as ms
import sklearn.svm as svm
import sklearn.metrics as sm
import matplotlib.pyplot as mp

x, y = [], []
with open("../data/multiple2.txt", "r") as f:
for line in f.readlines():
data = [float(substr) for substr in line.split(",")]
x.append(data[:-1]) # 输入
y.append(data[-1]) # 输出

# 列表转数组
x = np.array(x)
y = np.array(y, dtype=int)

# 线性核函数支持向量机分类器
model = svm.SVC(kernel="linear") # 线性核函数
# model = svm.SVC(kernel="poly", degree=3) # 多项式核函数
# print("gamma:", model.gamma)
# 径向基核函数支持向量机分类器
# model = svm.SVC(kernel="rbf",
# gamma=0.01, # 概率密度标准差
# C=200) # 概率强度
model.fit(x, y)

# 计算图形边界
l, r, h = x[:, 0].min() - 1, x[:, 0].max() + 1, 0.005
b, t, v = x[:, 1].min() - 1, x[:, 1].max() + 1, 0.005

# 生成网格矩阵
grid_x = np.meshgrid(np.arange(l, r, h), np.arange(b, t, v))
flat_x = np.c_[grid_x[0].ravel(), grid_x[1].ravel()] # 合并
flat_y = model.predict(flat_x) # 根据网格矩阵预测分类
grid_y = flat_y.reshape(grid_x[0].shape) # 还原形状

mp.figure("SVM Classifier", facecolor="lightgray")
mp.title("SVM Classifier", fontsize=14)

mp.xlabel("x", fontsize=14)
mp.ylabel("y", fontsize=14)
mp.tick_params(labelsize=10)
mp.pcolormesh(grid_x[0], grid_x[1], grid_y, cmap="gray")

C0, C1 = (y == 0), (y == 1)
mp.scatter(x[C0][:, 0], x[C0][:, 1], c="orangered", s=80)
mp.scatter(x[C1][:, 0], x[C1][:, 1], c="limegreen", s=80)
mp.show()

绘制图形:

多项式核函数

多项式核函数(Polynomial Kernel)用增加高次项特征的方法做升维变换,当多项式阶数高时复杂度会很高,其表达式为:

K(xy)=(αxTy+c)dK(x,y)=(αx^T·y+c)d

y=x1+x2y=x12+2x1x2+x22y=x13+3x12x2+3x1x22+x23y = x_1 + x_2\\ y = x_1^2 + 2x_1x_2+x_2^2\\ y=x_1^3 + 3x_1^2x_2 + 3x_1x_2^2 + x_2^3

其中,α表示调节参数,d表示最高次项次数,c为可选常数。

示例代码(将上一示例中创建支持向量机模型改为一下代码即可):

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model = svm.SVC(kernel="poly", degree=3)  # 多项式核函数

生成图像:

径向基核函数

径向基核函数(Radial Basis Function Kernel)具有很强的灵活性,应用很广泛。与多项式核函数相比,它的参数少,因此大多数情况下,都有比较好的性能。在不确定用哪种核函数时,可优先验证高斯核函数。由于类似于高斯函数,所以也称其为高斯核函数。表达式如下:

示例代码(将上一示例中分类器模型改为如下代码即可):

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# 径向基核函数支持向量机分类器
model = svm.SVC(kernel="rbf",
gamma=0.01, # 概率密度标准差
C=600) # 概率强度,该值越大对错误分类的容忍度越小,分类精度越高,但泛化能力越差;该值越小,对错误分类容忍度越大,但泛化能力强

生成图像:

总结

(1)支持向量机是二分类模型

(2)支持向量机通过寻找最优线性模型作为分类边界

(3)边界要求:正确性、公平性、安全性、简单性

(4)可以通过核函数将线性不可分转换为线性可分问题,核函数包括:线性核函数、多项式核函数、径向基核函数

(5)支持向量机适合少量样本的分类

网格搜索

获取一个最优超参数的方式可以绘制验证曲线,但是验证曲线只能每次获取一个最优超参数。如果多个超参数有很多排列组合的话,就可以使用网格搜索寻求最优超参数组合。

针对超参数组合列表中的每一个超参数组合,实例化给定的模型,做cv次交叉验证,将其中平均f1得分最高的超参数组合作为最佳选择,实例化模型对象。

网格搜索相关API:

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import sklearn.model_selection as ms
params =
[{'kernel':['linear'], 'C':[1, 10, 100, 1000]},
{'kernel':['poly'], 'C':[1], 'degree':[2, 3]},
{'kernel':['rbf'], 'C':[1,10,100], 'gamma':[1, 0.1, 0.01]}]


model = ms.GridSearchCV(模型, params, cv=交叉验证次数)
model.fit(输入集,输出集)
# 获取网格搜索每个参数组合
model.cv_results_['params']
# 获取网格搜索每个参数组合所对应的平均测试分值
model.cv_results_['mean_test_score']
# 获取最好的参数
model.best_params_
model.best_score_
model.best_estimator_